洛伦兹群的矢量表示,生成元及李代数

发布网友 发布时间：2024-10-24 12:51

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热心网友 时间：2024-11-09 10:08

三维空间的旋转始于矢量在空间中的旋转。具体来说，我们可以将一个矢量绕着某一轴线旋转一个特定角度。这种操作可以通过矩阵来描述。

具体矩阵表示如下：

（此处应插入公式）

进一步分析，我们知道旋转一个角度θ可以通过旋转θ/2次θ/2角度来实现。以π为例：

（此处应插入公式）

当θ=π，有：

（此处应插入公式）

接下来，我们分析无穷小转动的性质：

（此处应插入公式）

其中：[公式]

可以看出，[公式]是由一个单位矩阵和一个反对称矩阵构成的。

考虑到：[公式]

引入[公式]，上式可写为：[公式]

我们发现[公式]满足[公式]

其中[公式]是结构常数。

因此，我们可以得出结论，三维旋转矩阵构成一个李群的表示，其生成元是[公式]。

同样，我们还有生成元[公式]。

三维旋转群的李代数就是[公式]张成的线性空间。

（群表示：将群元与矩阵对应）

（生成元：通过指数映射，我们可以得到转动群中的任何一个群元）

（李代数：生成元张成的线性空间，空间中任何一个矢量也是一个生成元[更一般的]）

从转动到Lorentz群，我们回顾一下Lorentz变换，它可以用六个矩阵描述对四维矢量的作用（三个转动，三个boost）。

绕[公式]轴转动：[公式]

绕[公式]轴转动：[公式]

绕[公式]轴转动：[公式]

（在闵氏时空下的旋转就是三维旋转矩阵与一个一维的单位矩阵）

沿[公式]轴 boost：[公式]

沿[公式]轴 boost：[公式]

沿[公式]轴 boost：[公式]

其中[公式]为快度。

类比前面的做法，我们可以得到六个生成元，以[公式]为例：

（此处应插入公式）

当[公式]，有：

（此处应插入公式）

其中：[公式]

引入[公式]，上式可写为：[公式]

六个生成元：

绕[公式]轴转动：[公式]

绕[公式]轴转动：[公式]

绕[公式]轴转动：[公式]

沿[公式]轴 Boost：[公式]

沿[公式]轴 Boost：[公式]

沿[公式]轴 Boost：[公式]

前面提到，生成元张成的空间中任意的矢量也是生成元，且是更一般的生成元，所以Lorentz群中任意一个群元可以写为：

（此处应插入公式）

通过这种生成元得到的群元我们称之为Lorentz群的矢量表示。

引入[公式]与[公式]

显然有[公式]与[公式]

计算[公式]

（此处应插入公式）

（其中[公式], [公式]）

（此处应插入公式）

（此处应插入公式）

（此处应插入公式）

所以，[公式]也是生成元（同样为矢量表示），任意一个群元可以写为：

（此处应插入公式）

我们还可以将[公式]写为：

（此处应插入公式）

证明：

[公式]可以写为矩阵形式：

（此处应插入公式）

然后就可以逐项验证. Q.E.D

利用[公式]，我们还可以得到[公式]的对易关系：

（此处应插入公式）

证明：计算即可（懒得算） Q.E.D